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估值定理的推导 ，可以直接用 f(x)-m的积分≥0来证明，M的情形类似 。
中值定理可以由那个定积分除以(b-a) ，由估值定理 ，这个值在m和M之间，根据连续函数的介值定理 ，f(x)中总有ξ使其函数值在最小、最大值之间 ，然后把 b-a乘过来就得到了 。
定积分是阴影部分面积，自然是介于绿线下面部分和红线下面部分的面积；中值定理：这个面积等于某个介于最小、最大值之间的 ，蓝线下面的面积。
扩展资料：
如果是一元函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，只需把上述估定理公式中的S改成区间长度 b -a ，如区间在[n+1,n]单调递减的函数f(x)的积分 ，(n+1-n)*f(n+1)<= ∫f(x)dx<=f(n) *(n+1-n)，即任意一个函数在闭区间[a,b]上连续他从闭区间[a,b]的定积分，其中m为f(x)在闭区间[a,b]上的最小值 ，M为最大值 。
导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态 ，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用 。微分中值定理 ，包括罗尔定理 、拉格朗日定理 、柯西定理、泰勒定理。
无穷小（大）量阶的比较时 ，看到两个无穷小（大）量之比的极限可能存在，也可能不存在 。如果存在 ，其极限值也不尽相同 。称两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限为型或型不定式极限。
百度百科——中值定理
百度百科——积分估值定理
1 、当a=b时 ，
2 、当a>b时，
3、常数可以提到积分号前 。
4 、代数和的积分等于积分的代数和 。
5 、定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有
又由于性质2 ，若f(x)在区间D上可积 ，区间D中任意c（可以不在区间[a,b]上）满足条件。
6、如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则
7 、积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续 ，则至少存在一点ε在（a ，b)内使
扩展资料：
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分 ，而不存在不定积分 。一个连续函数 ，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点 ，则原函数一定不存在 ，即不定积分一定不存在 。
常用积分法：
1 、定积分换元积分法
如果
（1）
（2）x=ψ(t)在[α,β]上单值、可导;
（3）当α≤t≤β时，a≤ψ(t)≤b,且ψ（α）=a,ψ(β)=b,
则
2 、定积分分部积分法
设u=u(x),v=v（x)均在区间[a,b]上可导 ，且u′ ，v′∈R（[a,b]),则有分部积分公式：
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